Le jeu de dominos est probablement originaire d’Orient, où il se pratiquait dès l’Antiquité : il aurait gagné l’Europe au xive siècle, par l’Italie. Le mot « domino » dérive du latin « dominus », évoquant le Seigneur ; les moines remerciaient Dieu de leur gain à ce jeu, par un chaleureux « Domino gratias ! ». Par ailleurs, les dominos sont noir et blanc, comme la pèlerine, le « domino », des chanoines. Les dominos constituent des « objets mathématiques » par excellence : pavés à faces rectangulaires, intimement associés à de petits nombres naturels, matérialisés par la répétition de marques ponctuelles, gravées ici sur une seule grande face. La face marquée de tout domino se compose de deux cases blanches carrées, portant chacune de 0 à 6 points noirs suivant une certaine possibilité ; la marque du domino est alors la paire de naturels, [4, 2], par exemple, dénombrant les points de ses cases, avec des doubles à paires particuliè- res, tel [5, 5], le double-cinq. Le jeu de dominos comporte ainsi 28 pièces distinctes dont 7 sont des doubles, et avec lesquelles, en jouant normalement, on forme des chaînes, en lignes brisées à deux extrémités, par juxtaposition de cases de mê out item, ou unité, de ce test présente une certaine disposition de dominos, qui respecte une loi logique déterminée ; mais cette loi est cachée et l’un de ces dominos (en pointillé) est « vide », c’est-à-dire inconnu (ne pas le confondre avec le double-zéro). L’épreuve consiste, sitôt trouvée la loi de formation, à remplir ce domino vide en notant le nombre de ses points dans chacune des deux cases, sur la feuille. Un item n’emploie que quelques dominos, mais tout domino peut y être réutilisé, et les dispositions de dominos varient sensiblement d’un item à l’autre (voir plus loin) ; de plus quand interviennent des suites numériques de marques sur cases, le 0 et le 6 sont orientés suivant l’ordre choisi, et on note : -0-1-2-3-4-5-6-0-1- en croissant, ou -6-5-4-3-2-1-0-6-5- en décroissant. Le test original inspiré du psychologue anglais Anstay comprend 44 items, à examiner en 25 minutes, donc à une moyenne voisine de 35 secondes par item ; on accorde un point par résultat correct, pour l’ensemble des deux cases concernées. Étudiez bien les items de bases présentés, avant de vous lancer dans l’exercice d’entraînement ; ils vous seront très utiles et l’exercice vous passionnera. a. La disposition ne comprend que trois dominos distincts : 1/0, 2/3 et 3/4, sur les huit représentés, et chacune des deux premières rangées (ou colonnes) porte ces trois dominos. La troisième rangée (ou colonne) en fait de même. Le domino inconnu est donc 2/3. Cet item est analogue à l’un des items d’un autre test, le MATRIX 47. deux questions Peut-être souhaitez-vous maintenant connaître davantage les dominos, support de ce test , mais aussi de quelques divertissements intéressants. Pour exaucer éventuellement ce souhait, et avant de vous présenter l’un de ces divertissements, il me suf f it de vous poser deux grandes questions numériques, en espérant que vous allez vous ef forcer d’y répondre au mieux. Les deux cases de tout domino présentent chacune des points, dont les nombres constituent une paire caractérisant la « marque » de la pièce ; ainsi [4, 2] ou [0, 3], ou encore, mais par exception, [5, 5], le double-cinq. Combien le jeu de dominos compte-t-il alors de points par pièce, en moyenne ? Certaines pièces montrent le même total de points : ainsi avec les marques [3, 6] et [4, 5] : 3 + 6 = 4 + 5 = 9 points. Quel est donc le plus grand nombre de dominos d’un même total de points ? Penchez-vous sur ces énigmes arithmétiques de dominos traditionnels, mais sans trop penser à ce domino ambulant à sept points, que constitue l’éclatante coccinelle commune, ce coléoptère nommé « bête à Bon Dieu » (encore !). Quelques indices Si mes deux questions (ou une seule quelconque) vous embarrassent, surtout ne boudez pas : piochez plutôt allègrement dans les indices données ci-dessous ! Pour déterminer la moyenne avancée, il convient d’abord de dénombrer le total des points du jeu de dominos, soit ses cases distinctes, puis les pièces du jeu, soit les couples assimilés à elles. Pour chercher le maximum fxé ensuite, rien ne vaut la construction d’un tableau numérique bien ordonné ; par exemple celui donnant, pour chaque total possible de points par pièce, la marque des diverses pièces, leur nombre, et enfn leur total de points dans le jeu ; « tout » y sera : Petit tour de magie Essayez bien vite ce rare et joli tour de dominos ! Étalez négligemment sur une table un jeu de dominos retournés et engagez un volontaire de votre public à former, avec tous ces dominos, une chaîne normale, en accolant des cases de même marque, mais sans pratiquer de ramifcations. Pendant que votre victime commence sa manipulation, vous lui annoncez bien haut que, sous l’effet de votre « magnétisme » et quoi qu’il fasse, sa chaîne sera ouverte, et les deux cases extrêmes porteront les marques distinctes, [4,1] par exemple, que vous inscrivez aussitôt sur une feuille. Miracle ? l’opération terminée, tout le monde peut constater que votre prédiction s’est réalisée… à votre grand avantage et à la surprise générale. Évidemment « y a un truc », et comme il n’est pas facile à déceler, je vais vous le dévoiler sur-le-champ ; mais surtout n’en restez pas là ! Avant d’étaler le jeu, subtilisez-en une pièce non double, de marque [1/4] ici puis, sur la feuille, notez… 1 et 4 justement. C’est absolument tout, et c’est très simple ! Mais pourquoi est-ce que « ça marche » ? derrière le rideau Vous avez maintenant tous les éléments pour répondre à cette question, en suivant, par exemple, la démarche mathématique et logique proposée ci-dessous. Constatez expérimentalement que, dans les conditions décrites, la chaîne se réalise de maintes façons, mais qui mènent toutes à deux cases extrêmes de marques prévues ; si, par contre, vous subtilisez dans le jeu une pièce double arbitraire, la chaîne se ferme sur deux cases extrêmes de même quelconque marque et le tour s’évanouit. Démontrez à présent, à l’aide de la notion de parité, que le jeu complet (sans subtilisation) fournit, sans autres changements, des chaînes fermées, donc sans cases extrêmes ; cet acquis vous permettra de justifer complètement le tour. En effet, sur toute chaîne ouverte complète, chaque marque de cases apparaît un nombre pair de fois (huit), de même entre ses cases extrêmes, car les intermédiaires vont par deux de même marque ; donc, par différence de parités, cette marque intervient aux deux extrémités de la chaîne, qui alors se ferme. Subtiliser toute pièce non double dans le jeu revient alors à ouvrir valablement, sur cette pièce, une chaîne fermée complète ; mais subtiliser une pièce double permet à la chaîne de se refermer, au moins sur les cases voisines de la pièce : ainsi s’explique notre petit tour divinatoire. dominos déchaînés Il existe une fguration heptagonale simple du jeu de dominos qui a le grand mérite de faciliter les constitutions et les dénombrements des chaînes envisagées. Il s’agit d’un certain diagramme sagittal (en fèches) de la relation « être associé sur pièce à », dans l’ensemble des marques des cases du jeu ; vous devriez essayer de tracer puis d’exploiter un peu ce diagramme, en occultant ce qui suit. Chacun des 7 côtés ou chacune des 7 × 4/2 = 14 diagonales, de l’heptagone convexe régulier tracé, correspond à une pièce non double du jeu et les 7 boucles ajoutées fgurent les doubles, en donnant les 28 dominos existants. Toute chaîne complète de dominos est alors constituée sur le diagramme, par le circuit, au crayon, qui passe entièrement par tous ses segments et boucles successifs, et une seule fois par chacun d’eux ; telle la chaîne origine de notre exemple dominos enchaînés Le dénombrement des chaînes de dominos à partir du précédent diagramme est un problème délicat, même en négligeant les ramifcations, comme convenu. Édouard Lucas en a longuement débattu, voilà plus d’un siècle, dans ses « Récréations Mathématiques », et il a fnalement fxé le nombre des chaînes fermées sans doubles, donc des circuits sans boucles, à n = 129 976 320. Peut-être, avec ce résultat, parviendrez-vous à calculer le nombre des chaînes complètes (fermées), puis le total des chaînes ouvertes par subtilisation d’une pièce (non double) ? Chacun des 7 doubles, indépendamment des autres, peut occuper 6/2 = 3 places, entre les cases accolées de même marque que lui, sur toute chaîne fermée sans doubles ; le nombre des chaînes complètes ainsi formées s’élève alors à : 37 n = 2 187 × 129 976 320 = 284 258 211 840 Ce nombre étant aussi celui des chaînes ouvertes par subtilisation de toute même pièce, le total des chaînes ouvertes, par toutes les pièces non doubles, vaut donc : 3 n × 21 = 284 258 211 840 × 21 = 5 969 422 448 640 soit près de 6 billions, ou millions de millions, ce qui n’est pas rien, et rehausse même cet original tour de dominos. Dans le domaine mathématique, le présent divertissement apparaît comme une large application ludique, de la fructueuse notion de parité, qui l’explicite pleinement, puis d’un étonnant diagramme sagittal, favorable à son développement, et enfn d’intéressants dénombrements, proches de l’analyse combinatoire : en somme, une bonne sélection de moyens simples et effcaces, au service d’un jeu de hasard revu par la psychotechnique.